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材料成形基本原理合肥工大第三版13章ppt.ppt


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材料成形基本原理合肥工大第三版13章ppt.ppt
文档介绍:
第十四章应力分析
分析变形——分析变形体内的
应力、应变状态
14.1 张量的基本知识
14.2 外力、应力和点的应力状态
14.5 应力莫尔圆
14.3 主应力和主切应力
14.4 应力平衡微分方程
14.1 张量的基本知识
一、角标符号和求和约定
角标符号:成组的符号和数组可以用一个带下角标的符号表示,这种符号叫角标符号。
如(x1,x2,x3) 可简记为xi(i=1,2,3);
?xx,?xy,?xz
?yx,?yy,?yz
?zx,?zy,?zz 可简记为?ij(i,j=x,y,z); 等等。
一般地,如果一个坐标系有m个角标,每个角标取n个值,则该角标符号代表着nm个元素,例如?ij(i,j=x,y,z) ( m=2,n=3)就包含有9个元素。
n表示空间的维数,以后无特别说明,我们总取n=3。
导数记号:导数记为fi,j,表示f(xi)对xj的导数,逗号后边的下标表示对相应坐标的求导。
例如:
克氏符号:?ij称为克罗内克(Kronecker)符号,?ij定义为
求和约定:
在一项中,没有重复出现的角标叫自由标,表示该项的个数。
在一项中,同一角标出现二次,则对该角标自1到n的所有元素求和,这种角标在求和之后不再出现,称之为哑标,这一运算称之为求和约定。
?ii=F
?ijlj=B
?11+ ?22+ ?33=F
?i1l1+ ?i2l2+ ?i3l3=B
二、张量的基本概念
张量:由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合,称为张量,需要用空间坐标系中的三个矢量,即9个分量才能完整地表示。
它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。
描述张量分量的个数用阶表示。在三维空间中,其张量分量的个数为3n ,如应力、应变是二阶张量,有32 =9个分量。
其中lki,llj为新坐标系的坐标轴关于原坐标系的方向余弦。
例如:
物理量P在新坐标系xk的9个分量为Pkl(k,l=1`,2` ,3` ),这个物理量P在坐标系xi中的9个分量为Pij (i,j=1,2 ,3 )。若Pij (i,j=1,2 ,3 )与Pkl (k,l=1`,2` ,3` )之间存在下列线性变换关系
Pkl = Pij lki llj
那么,这个物理量被定义为张量,可用矩阵表示
表示点应力状态的九个应力分量构成二阶张量,称为应力张量。
例:应力张量
受力物理内任意点的应力状态一旦确定,如果取不同的坐标系,则表示该点应力状态的9个应力分量将有不同的数值,但该点的应力状态并没有发生变化。
因此,不同坐标系中的应力分量之间存在线形转换关系:
三、张量的基本性质
1. 张量的分量一定可以组成某些函数f(Pij),这些函数的值不随坐标系而变,即: f(Pij)= f(Pkl)。这样的函数就叫张量不变量。
二阶张量存在三个独立的不变量:
C1=Pii
C2=PijPji
C3=PijPjkPki 内容来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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